18. Testek felszíne, térfogata

.doc formátumban

 

Hengerszerű testek származtatása

Adott a síkon egy önmagát nem átmetsző zárt görbe. Ha ennek a síkidomnak (alaplapnak) a kerületén önmagával párhuzamosan körbevezetünk egy a síkkal nem párhuzamos e egyenest (vezéregyenes), akkor egy végtelen hengerfelülethez (palásthoz) jutunk. Ha ezt a hengerfelületet egy, az eredeti síkkal párhuzamos síkkal elmetsszük, akkor ez a két sík és a palástfelület egy hengerszerű testet vág ki a térből. A metsző síkban keletkezett síkidomot fedőlapnak nevezhetjük.


Egy hengerszerű test.

A hengerszerű test alaplapja és fedőlapja egymással párhuzamos és egybevágó síkidom. A körülvezetett egyenesnek az alaplap és a fedőlap közé eső szakaszát a hengerszerű test alkotójának nevezzük. A hengerszerű test minden alkotója azonos hosszúságú. A két sík (az alaplap és fedőlap) távolságát a test magasságának nevezzük.



A hengerszerű testeket az alaplapjuk szerint és a vezéregyenes szerint is osztályozhatjuk. Ha a vezéregyenes merőleges az alap és fedőlapra, akkor egyenes, egyébként ferde hengerszerű testet kapunk.

Ha az alaplap körvonal, akkor körhengert kapunk. Az egyenes körhengert forgáshengernek, vagy röviden hengernek nevezzük. Az egyenes körhenger alap és fedőlapjainak középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye.


A rajzon egy ferde körhenger ("pisai ferdetorony") és egy egyenes körhenger

Ha az alaplap sokszög, akkor hasábról beszélünk. Ez is lehet ferde, vagy egyenes. A sokszög pedig lehet szabályos, vagy nem. A hasáb oldallapjai paralelogrammák (persze a téglalap is az). Az alap és fedőlap éleit alapélnek az oldallap éleit oldalélnek nevezzük.


A rajzon gy ferde és egy egyenes sokszöglap (nem szabályos) alapú hasáb

Ha az alap és fedőlap szabályos sokszög és minden alkotója merőleges az alap és fedőlapra, akkor szabályos hasábokról vagy oszlopokról beszélünk. A szabályos síkidomok középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye.


Egy egyenes szabályos sokszöglap (itt hatszöglap) alapú hasáb (Oszlop)

Ha az egyenes hasáb minden lapja téglalap, akkor téglatestről, ha minden lapja négyzet, akkor kockáról beszélünk.


Egy téglatest és egy kocka



A hasáb olyan test tehát, melynek két alaplapja egybevágó, párhuzamos sokszög. Oldallapjai paralelogrammák, (ezeket együttesen palástnak nevezzük) oldalélei párhuzamosak és egyenlőek. Ha az oldalélek merőlegesek az alaplapra, akkor egyenes hasábról, különben ferde hasábról beszélünk. A párhuzamos alaplapok távolsága a test magassága.

Vö. henger


 

Kúpszerű testek származtatása

Adott a síkon egy önmagát nem átmetsző zárt görbe és a síkon kívül egy P pont. Ha ennek a síkidomnak (alaplapnak) a kerületén egy egyenest (vezéregyenes) úgy hordozunk körbe, hogy közben mindig áthaladunk a ponton, akkor egy végtelen kúpfelületet (palást) kapunk. Ez a felület az alaplap síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. A véges térrész, azaz a kúpfelület és a sík által határolt térrész a kúpszerű test. A rögzített pontot a kúpszerű test csúcsának nevezzük. A kúpszerű test csúcsából a síkidom kerületi pontjait összekötő szakaszok a test alkotói. A kúpszerű test csúcsának az alaplap síkjától való távolsága a test magassága.

Ha az alaplap körvonal, akkor körkúpot, ha sokszög, akkor gúlát kapunk. Gúla esetén a gúla csúcsát és az alaplap (sokszög) csúcsait összekötő szakaszok a gúla oldalélei. A gúla oldallapjai háromszögek.


Egy ferde körkúp és egy ferde gúla

Ha a körkúp minden alkotója egyenlő, akkor egyenes körkúpról, vagy röviden kúpról beszélünk. A kúp csúcsát az alaplap középpontjával összekötő egyenes a kúp tengelye.

Ha az alaplap szabályos sokszög és minden oldaléle egyenlő hosszúságú, akkor az ilyen gúlát szabályos gúlának mondjuk.


Egy egyenes körkúp és egy egyenes négy vagy hatszög alapú gúla

Ha a kúpszerű testet az alaplapjával párhuzamos síkkal elvágjuk, akkor a csúcs felőli rész az eredeti kúpszerű testhez hasonló kúpszerű test lesz, az alaplap felöli részt csonka kúpszerű testnek nevezzük.


Egy egyenes és egy ferde csonka kúpszerű test

 

Tehát a gúla egy sokszög alaplapból és annyi háromszögből áll, ahány oldalú a sokszög (palást). A gúla magassága a csúcsnak az alaplap síkjától vett távolsága.

 

Hasábok felszíne, térfogata     

A = 2 Ta + Tp                           V = Tam ,

ahol Ta = alaplap területe, Tp = palást területe, m= hasáb magassága

Henger felszíne, térfogata

A = 2r2π+2rπm             V = rπm,

ahol r = alapkör sugra, m = henger magassága, π ≈ 3,14 irracionális szám

Gúla felszíne, térfogata  

A = Ta + Tp                             ,

ahol Ta = alaplap területe, Tp = palást területe, m = gúla magassága